1082. Упростите выражение:

Решение:

Для упрощения каждого выражения используем правила работы со степенями.

а) \( xy^{-2} - x^{-2}y \)

Выражение уже представлено в простейшем виде, так как основания степеней (x и y) различны.

б) \( \frac{x}{y}^{-1} + \frac{x}{y}^{-2} \)

1. Применим свойство степени \( (a/b)^{-n} = (b/a)^n \):

\( \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2} \)

2. Приведем к общему знаменателю \( x^2 \):

\( \frac{y \cdot x}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy + y^2}{x^2} \)

в) \( mn(n-m)^{-2} - n(m-n)^{-1} \)

1. Заметим, что \( (n-m)^2 = (m-n)^2 \).


2. Перепишем выражение:

\( \frac{mn}{(n-m)^2} - \frac{n}{m-n} \)

3. Приведем ко второму дроби к знаменателю \( (m-n)^2 \):

\( \frac{mn}{(m-n)^2} - \frac{n(m-n)}{(m-n)^2} \)

4. Выполним вычитание:

\( \frac{mn - n(m-n)}{(m-n)^2} = \frac{mn - nm + n^2}{(m-n)^2} = \frac{n^2}{(m-n)^2} \)

г) \( (x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1}) \)

1. Применим формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \), где \( a = x^{-1} \) и \( b = y^{-1} \):

\( (x^{-1})^2 - (y^{-1})^2 \)

2. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\( x^{-2} - y^{-2} \)

Ответ: а) \( xy^{-2} - x^{-2}y \); б) \( \frac{xy + y^2}{x^2} \); в) \( \frac{n^2}{(m-n)^2} \); г) \( x^{-2} - y^{-2} \).