1085. Решите систему уравнений: a) 12x-7y = 2, 4x-5y = 6; в) 6x = 25y + 1, 5x-16y = -4; б) 7u+2v = 1, 17u+6v = -9; г) 4b + 7a = 90, 5а - 66 = 20.

Задание а)

Решим систему уравнений методом подстановки:

1. Выразим x из второго уравнения:

• \( 4x = 6 + 5y \)
• \( x = \frac{6 + 5y}{4} \)

2. Подставим полученное выражение для x в первое уравнение:

• \( 12 \left( \frac{6 + 5y}{4} \right) - 7y = 2 \)
• \( 3(6 + 5y) - 7y = 2 \)
• \( 18 + 15y - 7y = 2 \)
• \( 8y = 2 - 18 \)
• \( 8y = -16 \)
• \( y = -2 \)

3. Найдем x, подставив значение y во второе уравнение:

• \( 4x - 5(-2) = 6 \)
• \( 4x + 10 = 6 \)
• \( 4x = 6 - 10 \)
• \( 4x = -4 \)
• \( x = -1 \)

Ответ: x = -1, y = -2.

Задание в)

Решим систему уравнений методом подстановки:

1. Выразим 6x из первого уравнения:

• \( 6x = 25y + 1 \)

2. Подставим это выражение во второе уравнение, предварительно умножив его на 6, чтобы получить 6x:

• \( 6(5x - 16y) = 6(-4) \)
• \( 30x - 96y = -24 \)
• Заметим, что можно проще: из первого уравнения выразим x и подставим во второе.
• \( x = \frac{25y + 1}{6} \)
• \( 5 \left( \frac{25y + 1}{6} \right) - 16y = -4 \)
• \( \frac{125y + 5}{6} - 16y = -4 \)
• Умножим все на 6:
• \( 125y + 5 - 96y = -24 \)
• \( 29y = -24 - 5 \)
• \( 29y = -29 \)
• \( y = -1 \)

3. Найдем x, подставив значение y в первое уравнение:

• \( 6x = 25(-1) + 1 \)
• \( 6x = -25 + 1 \)
• \( 6x = -24 \)
• \( x = -4 \)

Ответ: x = -4, y = -1.

Задание б)

Решим систему уравнений методом сложения:

1. Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при v стали противоположными:

• \( -3(7u + 2v) = -3(1) \)
• \( -21u - 6v = -3 \)

2. Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

• \( (-21u - 6v) + (17u + 6v) = -3 + (-9) \)
• \( -4u = -12 \)
• \( u = 3 \)

3. Найдем v, подставив значение u в первое уравнение:

• \( 7(3) + 2v = 1 \)
• \( 21 + 2v = 1 \)
• \( 2v = 1 - 21 \)
• \( 2v = -20 \)
• \( v = -10 \)

Ответ: u = 3, v = -10.

Задание г)

Перепишем систему, поменяв местами члены во втором уравнении для удобства:

\( \begin{cases} 7a + 4b = 90 \\ 5a - 6b = 20 \end{cases} \)

Решим систему методом подстановки:

1. Выразим 4b из первого уравнения:

• \( 4b = 90 - 7a \)
• \( b = \frac{90 - 7a}{4} \)

2. Подставим выражение для b во второе уравнение:

• \( 5a - 6 \left( \frac{90 - 7a}{4} \right) = 20 \)
• \( 5a - \frac{3}{2}(90 - 7a) = 20 \)
• Умножим всё на 2:
• \( 10a - 3(90 - 7a) = 40 \)
• \( 10a - 270 + 21a = 40 \)
• \( 31a = 40 + 270 \)
• \( 31a = 310 \)
• \( a = 10 \)

3. Найдем b, подставив значение a в первое уравнение:

• \( 7(10) + 4b = 90 \)
• \( 70 + 4b = 90 \)
• \( 4b = 90 - 70 \)
• \( 4b = 20 \)
• \( b = 5 \)

Ответ: a = 10, b = 5.