1086. Найдите решение системы уравнений: a) {2x + y = 12, 7x - 2y = 31; в) {8y - x = 4, 2x - 21y = 2; б) {y - 2x = 4, 7x - y = 1; г) {2x = y + 0,5, 3x - 5y = 12.

Решение:

а) Система уравнений:

\( \begin{cases} 2x + y = 12 \\ 7x - 2y = 31 \end{cases} \)

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 12 - 2x \).


2. Подставим во второе уравнение: \( 7x - 2(12 - 2x) = 31 \).


3. Раскроем скобки: \( 7x - 24 + 4x = 31 \).


4. Приведём подобные члены: \( 11x = 55 \).


5. Найдем \( x \): \( x = \frac{55}{11} = 5 \).


6. Найдем \( y \): \( y = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2 \).

Ответ: (5; 2)

б) Система уравнений:

\( \begin{cases} y - 2x = 4 \\ 7x - y = 1 \end{cases} \)

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 4 + 2x \).


2. Подставим во второе уравнение: \( 7x - (4 + 2x) = 1 \).


3. Раскроем скобки: \( 7x - 4 - 2x = 1 \).


4. Приведём подобные члены: \( 5x = 5 \).


5. Найдем \( x \): \( x = \frac{5}{5} = 1 \).


6. Найдем \( y \): \( y = 4 + 2 \cdot 1 = 4 + 2 = 6 \).

Ответ: (1; 6)

в) Система уравнений:

\( \begin{cases} 8y - x = 4 \\ 2x - 21y = 2 \end{cases} \)

1. Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 8y - 4 \).


2. Подставим во второе уравнение: \( 2(8y - 4) - 21y = 2 \).


3. Раскроем скобки: \( 16y - 8 - 21y = 2 \).


4. Приведём подобные члены: \( -5y = 10 \).


5. Найдем \( y \): \( y = \frac{10}{-5} = -2 \).


6. Найдем \( x \): \( x = 8 \cdot (-2) - 4 = -16 - 4 = -20 \).

Ответ: (-20; -2)

г) Система уравнений:

\( \begin{cases} 2x = y + 0,5 \\ 3x - 5y = 12 \end{cases} \)

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 2x - 0,5 \).


2. Подставим во второе уравнение: \( 3x - 5(2x - 0,5) = 12 \).


3. Раскроем скобки: \( 3x - 10x + 2,5 = 12 \).


4. Приведём подобные члены: \( -7x = 9,5 \).


5. Найдем \( x \): \( x = \frac{9,5}{-7} = -\frac{95}{70} = -\frac{19}{14} \).


6. Найдем \( y \): \( y = 2 \cdot (-\frac{19}{14}) - 0,5 = -\frac{19}{7} - \frac{1}{2} = -\frac{38}{14} - \frac{7}{14} = -\frac{45}{14} \).

Ответ: (-19/14; -45/14)