1097. 1) $6n\cdot\sqrt{\dfrac{m}{2n}}\cdot\sqrt{18mn}$; 2) $\dfrac{a-1}{a^{3/4}+a^{1/2}}\cdot\dfrac{a^{1/2}+a^{1/4}}{a^{1/2}+1}\cdot a^{1/4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1097. 1) $6n\cdot\sqrt{\dfrac{m}{2n}}\cdot\sqrt{18mn}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Объединим подкоренные выражения: $\sqrt{\dfrac{m}{2n}}\cdot\sqrt{18mn}=\sqrt{9m^2}=3|m|$. Следовательно, исходное выражение равно $6n\cdot3|m|=18n|m|$.
Область определения: $n\ne0$ и $mn\ge0$.
Ответ: $18n|m|$. Если по условию подразумевается $m,n>0$, результат равен $18mn$.
Положим $x=a^{1/4}$. Тогда $a=x^4$, $a^{1/2}=x^2$, $a^{3/4}=x^3$.
Подставим и разложим разность квадратов:
$\dfrac{x^4-1}{x^3+x^2}\cdot\dfrac{x^2+x}{x^2+1}\cdot x=\dfrac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^2(x+1)}\cdot\dfrac{x(x+1)}{x^2+1}\cdot x=(x-1)(x+1)=x^2-1.$
Так как $x^2=\sqrt a$, получаем $\sqrt a-1$. Знаменатель исходного выражения не должен обращаться в ноль, поэтому $a>0$.
Ответ: $\sqrt a-1$, где $a>0$.

1097. 1) \(6n\cdot\sqrt{\dfrac{m}{2n}}\cdot\sqrt{18mn}\); 2) \(\dfrac{a-1}{a^{3/4}+a^{1/2}}\cdot\dfrac{a^{1/2}+a^{1/4}}{a^{1/2}+1}\cdot a^{1/4}\).