1099. Правильный восьмиугольник A₁A₂…A₈ вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник A₃A₄A₇A₈ является прямоугольником, и выразите его площадь через R.

Обозначим центр окружности через O.

1. В правильном восьмиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен $\backslash (360^\backslash circ:8=45^\backslash circ\backslash )$.
2. Стороны $\backslash (A\_3A\_4\backslash )$ и $\backslash (A\_7A\_8\backslash )$ равны как стороны правильного восьмиугольника. Они стягивают равные дуги и параллельны.
3. Диагонали $\backslash (A\_4A\_7\backslash )$ и $\backslash (A\_8A\_3\backslash )$ стягивают равные дуги, поэтому они равны и параллельны. Следовательно, $\backslash (A\_3A\_4A\_7A\_8\backslash )$ — параллелограмм.
4. Угол $\backslash (A\_3A\_4A\_7\backslash )$ опирается на дугу $\backslash (A\_3A\_7\backslash )$, содержащую четыре промежутка по $\backslash (45^\backslash circ\backslash )$, то есть на полуокружность: $\backslash (4\backslash cdot45^\backslash circ=180^\backslash circ\backslash )$. Поэтому $\backslash (\backslash angle\; A\_3A\_4A\_7=90^\backslash circ\backslash )$.
5. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Стороны прямоугольника — хорды, соответствующие центральным углам $\backslash (45^\backslash circ\backslash )$ и $\backslash (135^\backslash circ\backslash )$:

\[A_3A_4=2R\sin22.5^\circ,\qquad A_4A_7=2R\sin67.5^\circ.\]

Тогда его площадь равна

\[S=(2R\sin22.5^\circ)(2R\sin67.5^\circ)=4R^2\sin22.5^\circ\cos22.5^\circ=2R^2\sin45^\circ=\sqrt2R^2.\]

Ответ: четырёхугольник является прямоугольником; \(S=\sqrt2R^2\).