11.154. Составить уравнения касательных к кривым y = 2x² − 5 и y = x² − 3x + 5, проведённых через точки пересечения этих кривых.

Сначала найдём точки пересечения кривых:

\(2x^2-5=x^2-3x+5\), поэтому \(x^2+3x-10=0\), то есть \((x+5)(x-2)=0\). Значит, \(x=-5\) или \(x=2\).

При \(x=-5\): \(y=2\cdot25-5=45\); точка пересечения — \((-5;45)\).

При \(x=2\): \(y=2\cdot4-5=3\); точка пересечения — \((2;3)\).

Для кривой \(y=2x^2-5\) производная равна \(y'=4x\). В точке \((-5;45)\) наклон касательной равен \(-20\), поэтому \(y-45=-20(x+5)\), или \(y=-20x-55\). В точке \((2;3)\) наклон равен \(8\), поэтому \(y-3=8(x-2)\), или \(y=8x-13\).

Для кривой \(y=x^2-3x+5\) производная равна \(y'=2x-3\). В точке \((-5;45)\) наклон касательной равен \(-13\), поэтому \(y-45=-13(x+5)\), или \(y=-13x-20\). В точке \((2;3)\) наклон равен \(1\), поэтому \(y-3=x-2\), или \(y=x+1\).

Ответ: \(y=-20x-55\), \(y=-13x-20\), \(y=8x-13\), \(y=x+1\).