11.2. Постройте график функции и опишите её свойства: а) \(y=-3x+1\); б) \(y=5+2x\); в) \(y=-\frac{3}{x}\); г) \(y=\frac{1}{2x}\); д) \(y=-x^2\); е) \(y=-x^3\).

а) \(y=-3x+1\)

Это линейная функция. Для построения достаточно отметить точки: \((0;1)\), \((1;-2)\), \((-1;4)\).

• Область определения: \(D(f)=\mathbb R\).
• Множество значений: \(E(f)=\mathbb R\).
• Нуль функции: \(x=\frac13\).
• Функция положительна при \(x<\frac13\), отрицательна при \(x>\frac13\).
• Убывает на всей области определения.
• Ни чётная, ни нечётная.

б) \(y=2x+5\)

Точки для построения: \((0;5)\), \((1;7)\), \((-1;3)\).

• Область определения и множество значений: \(\mathbb R\).
• Нуль функции: \(x=-\frac52\).
• Функция отрицательна при \(x<-\frac52\), положительна при \(x> -\frac52\).
• Возрастает на всей области определения.
• Ни чётная, ни нечётная.

в) \(y=-\frac{3}{x}\)

Точки для построения: \((1;-3)\), \((3;-1)\), \((-1;3)\), \((-3;1)\). График — гипербола; асимптоты: \(x=0\), \(y=0\).

• Область определения: \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
• Множество значений: \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
• Нулей нет.
• Функция отрицательна при \(x>0\), положительна при \(x<0\).
• Убывает на промежутках \(( -\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).
• Функция нечётная; её график расположен во II и IV координатных четвертях.

г) \(y=\frac{1}{2x}\)

Точки для построения: \((1;0.5)\), \((0.5;1)\), \((-1;-0.5)\), \((-0.5;-1)\). График — гипербола; асимптоты: \(x=0\), \(y=0\).

• Область определения: \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
• Множество значений: \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
• Нулей нет.
• Функция положительна при \(x>0\), отрицательна при \(x<0\).
• Убывает на промежутках \(( -\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).
• Функция нечётная; её график расположен в I и III координатных четвертях.

д) \(y=-x^2\)

Точки для построения: \((-2;-4)\), \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;-4)\). График — парабола, ветви направлены вниз.

• Область определения: \(\mathbb R\).
• Множество значений: \(( -\infty;0]\).
• Нуль функции: \(x=0\).
• Функция отрицательна при \(x\ne0\).
• Возрастает на \(( -\infty;0]\) и убывает на \([0;+\infty)\).
• Имеет наибольшее значение \(0\) при \(x=0\).
• Функция чётная.

е) \(y=-x^3\)

Точки для построения: \((-2;8)\), \((-1;1)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;-8)\).

• Область определения и множество значений: \(\mathbb R\).
• Нуль функции: \(x=0\).
• Функция положительна при \(x<0\), отрицательна при \(x>0\).
• Строго убывает на всей области определения.
• Функция нечётная.