11-20. Из генеральной совокупности Х. заданной таблицей 1.0., распределенной по нормальному закону, извлечена выборка. Требуется: 1. Составить вариационный, статистический и выборочный ряды распределения; найти размах выборки; По полученному распределению выборки: 2. Построить полигон относительных частот; 3. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану; 4. С надежностью γ найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания изучаемого признака генеральной совокупности. 7. γ = 0,95 6,0 6,6 6,8 6,4 6,8 6,2 6,0 6,6 6,6 6,6 6,4 6,2 6,4 6,8 6,4 6,6 6,4 6,4 6,4 6,2 6,6 7,0 6,0 6,8 6,2 6,8 6,6 6,2 7,0 6,8 7,0 6,8 6,4 7,2 6,6 7,2 6,6 6,6 7,0 6,2 8. γ = 0,99 10 8 9 6 9 9 7 10 12 8 10 11 10 8 9 10 10 8 9 8 7 11 11 9 8 7 9 12 6 10 8 10 11 9 11 8 7 11 11 9

Решение:

1. Вариационный, статистический и выборочный ряды распределения; размах выборки.

Для первой выборки (γ = 0,95):

Данные:

Всего наблюдений: n = 40.

Вариационный ряд (сортировка данных по возрастанию):

6,0; 6,0; 6,2; 6,2; 6,2; 6,2; 6,2; 6,4; 6,4; 6,4; 6,4; 6,4; 6,4; 6,4; 6,4; 6,6; 6,6; 6,6; 6,6; 6,6; 6,6; 6,6; 6,6; 6,8; 6,8; 6,8; 6,8; 6,8; 7,0; 7,0; 7,0; 7,0; 7,2; 7,2.

Размах выборки: R = 7,2 - 6,0 = 1,2.

Статистический ряд распределения (частоты и относительные частоты):

Для построения статистического ряда, сгруппируем данные. Оптимальное число групп k ≈ 3,322 * log10(40) + 1 ≈ 6,32. Возьмем k = 6. Шаг интервала h = (7.2 - 6.0) / 6 = 0.2.

Интервалы:

Выборочный ряд распределения: (можно представить в виде таблицы выше).

Для второй выборки (γ = 0,99):

Данные:

Всего наблюдений: n = 40.

Вариационный ряд (сортировка данных по возрастанию):

6; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 12; 12.

Размах выборки: R = 12 - 6 = 6.

Статистический ряд распределения (частоты и относительные частоты):

Для построения статистического ряда, сгруппируем данные. Оптимальное число групп k ≈ 6. Шаг интервала h = (12 - 6) / 6 = 1.

Интервалы:

Выборочный ряд распределения: (можно представить в виде таблицы выше).

2. Полигон относительных частот.

Для построения полигона относительных частот нужно использовать середины интервалов и их относительные частоты.

Для первой выборки (γ = 0,95):

Середины интервалов:

Для второй выборки (γ = 0,99):

Середины интервалов:

3. Выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, мода и медиана.

Для первой выборки (γ = 0,95):

Выборочная средняя:

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n} = \frac{6.1 \cdot 7 + 6.3 \cdot 7 + 6.5 \cdot 12 + 6.7 \cdot 8 + 6.9 \cdot 4 + 7.1 \cdot 2}{40} = \frac{42.7 + 44.1 + 78.0 + 53.6 + 27.6 + 14.2}{40} = \frac{260.2}{40} = 6.505 \]

Выборочная дисперсия:

\[ D_{\text{выб}} = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n} = \frac{(6.1-6.505)^2 \cdot 7 + (6.3-6.505)^2 \cdot 7 + (6.5-6.505)^2 \cdot 12 + (6.7-6.505)^2 \cdot 8 + (6.9-6.505)^2 \cdot 4 + (7.1-6.505)^2 \cdot 2}{40} \]

\[ D_{\text{выб}} = \frac{0.1640 + 0.1442 + 0.00036 + 0.1521 + 0.6321 + 0.7128}{40} = \frac{1.80556}{40} \approx 0.0451 \]

Выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение:

\[ s = \sqrt{\frac{n}{n-1}} \sqrt{D_{\text{выб}}} = \sqrt{\frac{40}{39}} \sqrt{0.0451} \approx 1.0128 \cdot 0.2124 \approx 0.215 \]

Мода: Мода находится в интервале с наибольшей частотой: [6.4; 6.6). Мода ≈ 6.4 + (12 - 7) / ((12 - 7) + (12 - 8)) * 0.2 = 6.4 + 5 / (5 + 4) * 0.2 = 6.4 + 5 / 9 * 0.2 ≈ 6.4 + 0.111 = 6.511

Медиана: Медиана находится в интервале, содержащем n/2 = 20-е наблюдение. Это интервал [6.4; 6.6). Медиана = 6.4 + (20 - (7+7)) / 12 * 0.2 = 6.4 + (20 - 14) / 12 * 0.2 = 6.4 + 6 / 12 * 0.2 = 6.4 + 0.5 * 0.2 = 6.4 + 0.1 = 6.5

Для второй выборки (γ = 0,99):

Выборочная средняя:

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n} = \frac{6.5 \cdot 3 + 7.5 \cdot 5 + 8.5 \cdot 9 + 9.5 \cdot 10 + 10.5 \cdot 9 + 11.5 \cdot 4}{40} = \frac{19.5 + 37.5 + 76.5 + 95.0 + 94.5 + 46.0}{40} = \frac{369.0}{40} = 9.225 \]

Выборочная дисперсия:

\[ D_{\text{выб}} = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n} = \frac{(6.5-9.225)^2 \cdot 3 + (7.5-9.225)^2 \cdot 5 + (8.5-9.225)^2 \cdot 9 + (9.5-9.225)^2 \cdot 10 + (10.5-9.225)^2 \cdot 9 + (11.5-9.225)^2 \cdot 4}{40} \]

\[ D_{\text{выб}} = \frac{21.609 + 21.609 + 4.765 + 0.756 + 11.556 + 21.609}{40} = \frac{81.904}{40} \approx 2.0476 \]

Выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение:

\[ s = \sqrt{\frac{n}{n-1}} \sqrt{D_{\text{выб}}} = \sqrt{\frac{40}{39}} \sqrt{2.0476} \approx 1.0128 \cdot 1.4309 \approx 1.449 \]

Мода: Мода находится в интервале с наибольшей частотой: [9; 10). Мода ≈ 9 + (10 - 9) / ((10 - 9) + (10 - 9)) * 1 = 9 + 1 / (1 + 1) * 1 = 9 + 0.5 = 9.5

Медиана: Медиана находится в интервале, содержащем n/2 = 20-е наблюдение. Это интервал [9; 10). Медиана = 9 + (20 - (3+5+9)) / 10 * 1 = 9 + (20 - 17) / 10 * 1 = 9 + 3 / 10 * 1 = 9 + 0.3 = 9.3

4. Доверительные интервалы.

Для первой выборки (γ = 0,95):

Для доверительной вероятности γ = 0,95, квантиль нормального распределения t_γ = 1,96.

Доверительный интервал для математического ожидания μ:

\[ \bar{x} - t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} \]

\[ 6.505 - 1.96 \frac{0.215}{\sqrt{40}} \le \mu \le 6.505 + 1.96 \frac{0.215}{\sqrt{40}} \]

\[ 6.505 - 1.96 \cdot 0.0339 \le \mu \le 6.505 + 1.96 \cdot 0.0339 \]

\[ 6.505 - 0.0664 \le \mu \le 6.505 + 0.0664 \]

\[ 6.4386 \le \mu \le 6.5714 \]

Для второй выборки (γ = 0,99):

Для доверительной вероятности γ = 0,99, квантиль нормального распределения t_γ = 2,576.

Доверительный интервал для математического ожидания μ:

\[ \bar{x} - t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} \]

\[ 9.225 - 2.576 \frac{1.449}{\sqrt{40}} \le \mu \le 9.225 + 2.576 \frac{1.449}{\sqrt{40}} \]

\[ 9.225 - 2.576 \cdot 0.2291 \le \mu \le 9.225 + 2.576 \cdot 0.2291 \]

\[ 9.225 - 0.5903 \le \mu \le 9.225 + 0.5903 \]

\[ 8.6347 \le \mu \le 9.8153 \]

Ответ:

1. Размах выборки R = 1,2 для первой выборки и R = 6 для второй. Статистические ряды представлены в таблицах.

2. Полигоны относительных частот построены с использованием Chart.js.

3. Для первой выборки: выборочная средняя ≈ 6.505, выборочная дисперсия ≈ 0.0451, исправленное среднее квадратическое отклонение ≈ 0.215, мода ≈ 6.511, медиана = 6.5. Для второй выборки: выборочная средняя = 9.225, выборочная дисперсия ≈ 2.0476, исправленное среднее квадратическое отклонение ≈ 1.449, мода = 9.5, медиана = 9.3.

4. Для первой выборки доверительный интервал: [6.4386; 6.5714]. Для второй выборки доверительный интервал: [8.6347; 9.8153].