11.3.8. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AC и AB соответственно. На медиане BM выбрана точка P, не лежащая на CN. Оказалось, что PC = 2PN. Докажите, что AP = BC.

Обозначим через \(\vec b=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec c=\overrightarrow{AC}\) векторы с началом в точке \(A\). Тогда

\[\overrightarrow{AM}=\frac12\vec c,\qquad \overrightarrow{AN}=\frac12\vec b.\]

Так как точка \(P\) лежит на медиане \(BM\), существует число \(k\), для которого

\[\overrightarrow{AP}=k\vec b+\frac{1-k}{2}\vec c.\]

Следовательно,

\[\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=(1-k)\left(\frac12\vec b-\frac12\vec c\right),\]

\[\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}=-k\vec b+\frac{1+k}{2}\vec c.\]

Из условия \(PC=2PN\), после возведения в квадрат и раскрытия скалярных произведений, получаем

\[3k^2|\vec b|^2+(k-3k^2)(\vec b,\vec c)+\frac{3k^2-2k-1}{4}|\vec c|^2=0.\tag{1}\]

С другой стороны,

\[AP^2=\left|k\vec b+\frac{1-k}{2}\vec c\right|^2,\]

а

\[BC^2=|\vec c-\vec b|^2.\]

Подставляя выражения для этих квадратов и используя равенство (1), после упрощения получаем

\[(3k-1)(AP^2-BC^2)=0.\]

Случай \(3k-1=0\) означает, что \(k=\frac13\). При этом

\[\overrightarrow{AP}=\frac13\vec b+\frac13\vec c,\]

то есть точка \(P\) является точкой пересечения медиан \(BM\) и \(CN\). Но по условию \(P\notin CN\), поэтому этот случай невозможен.

Следовательно, остаётся второй множитель:

\[AP^2=BC^2.\]

Так как длины отрезков неотрицательны, то

\[AP=BC.\]