11. (4 балла). Решите уравнение: \(\frac{x^2-6x+8}{11} = \frac{x-4}{2} + \frac{x-2}{5}\)

Решение:

1. Приведём уравнение к общему знаменателю. Общий знаменатель для 11, 2 и 5 равен 110.
2. Умножим обе части уравнения на 110:
   \( 110 \cdot \frac{x^2-6x+8}{11} = 110 \cdot \frac{x-4}{2} + 110 \cdot \frac{x-2}{5} \)
3. Упростим:
   \( 10(x^2-6x+8) = 55(x-4) + 22(x-2) \)
4. Раскроем скобки:
   \( 10x^2 - 60x + 80 = 55x - 220 + 22x - 44 \)
5. Перенесём все члены в левую часть уравнения:
   \( 10x^2 - 60x + 80 - 55x + 220 - 22x + 44 = 0 \)
6. Приведём подобные слагаемые:
   \( 10x^2 + (-60 - 55 - 22)x + (80 + 220 + 44) = 0 \)
   \( 10x^2 - 137x + 344 = 0 \)
7. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (-137)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 344 \)
   \( D = 18769 - 13760 = 5009 \)
8. Найдём корни уравнения:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{137 + \sqrt{5009}}{20} \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{137 - \sqrt{5009}}{20} \)

Ответ: \( x_1 = \frac{137 + \sqrt{5009}}{20}, x_2 = \frac{137 - \sqrt{5009}}{20} \).