11.7.8. Исследовать на экстремум функцию \(f(x;y)=x^2+xy+y^2-2x-3y+5\frac{2}{3}\).

Найдём стационарные точки, приравняв частные производные к нулю:

\(\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y-2=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x+2y-3=0.\)

Из первого уравнения \(y=2-2x\). Подставим во второе: \(x+2(2-2x)-3=0\), откуда \(x=\frac{1}{3}\), \(y=\frac{4}{3}\).

Вторые производные: \(f_{xx}=2\), \(f_{xy}=1\), \(f_{yy}=2\). Определитель матрицы вторых производных равен \(2\cdot2-1^2=3>0\), причём \(f_{xx}=2>0\). Поэтому стационарная точка является точкой строгого минимума. Так как квадратичная часть положительно определена, это также глобальный минимум.

Вычислим значение функции:

\(f\left(\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{2}{3}-4+\frac{17}{3}=\frac{10}{3}.\)

Ответ: точка минимума \(\left(\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)\); минимальное значение функции равно \(\frac{10}{3}\). Максимума нет.