11. а) Решите уравнение \(2\cos^2 x+3\sin(x+\pi)-3=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([2\pi;\frac{7\pi}{2}]\).

а) Используем формулы \(\sin(x+\pi)=-\sin x\) и \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\(2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0\).

После упрощения получаем \(2\sin^2x+3\sin x+1=0\), то есть \((2\sin x+1)(\sin x+1)=0\).

Следовательно, \(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=-1\). Поэтому

\(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([2\pi;\frac{7\pi}{2}]\) из этих решений лежат \(\frac{19\pi}{6}\) и \(\frac{7\pi}{2}\).

Ответ: а) \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), \(\frac{11\pi}{6}+2\pi k\), \(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(\frac{19\pi}{6},\frac{7\pi}{2}\).