11*. ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная четырёхугольная призма. AB = 15, AA₁ = 20. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей её диагонали призмы.

Рассмотрим, например, сторону основания AB и не пересекающую её диагональ призмы A₁C. Введём координаты: A(0; 0; 0), B(0; 15; 0), C(15; 15; 0), A₁(0; 0; 20). Направляющие векторы прямых AB и A₁C: \(\vec u=(0;1;0)\), \(\vec v=(15;15;-20)\).

Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле \(d=\frac{|(A-A_1)\cdot(\vec u\times\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}\). Здесь \(\vec u\times\vec v=(-20;0;-15)\), его длина равна 25, а \(A-A_1=(0;0;-20)\). Следовательно, \(d=\frac{300}{25}=12\).

Ответ: 12.