11. Автобусу, в котором едет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий невозможные, какие — случайные, какие — достоверные: A={все пассажиры выйдут из автобуса на разных остановках); B={все пассажиры выйдут на одной остановке}; C={на каждой остановке хоть кто-то выйдет}; D={найдется остановка, на которой никто не выйдет}; E={на всех остановках выйдет четное число пассажиров}; F={на всех остановках выйдет нечетное число пассажиров}?

Решение:

Для решения задачи будем анализировать каждое событие относительно 15 пассажиров и 10 остановок.

• Событие A = {все пассажиры выйдут из автобуса на разных остановках}

Это случайное событие. Возможно, что все 15 пассажиров выйдут на разных остановках, но также возможно, что несколько пассажиров выйдут на одной остановке.

• Событие B = {все пассажиры выйдут на одной остановке}

Это случайное событие. Все 15 пассажиров могут выйти на одной из 10 остановок, но это не гарантировано. Они могут выйти на разных остановках.

• Событие C = {на каждой остановке хоть кто-то выйдет}

Это невозможное событие. Поскольку у нас 15 пассажиров и 10 остановок, и каждый пассажир выходит только один раз, невозможно, чтобы на каждой из 10 остановок вышел хотя бы один пассажир. Общее количество вышедших пассажиров равно 15, что больше количества остановок. Если бы пассажиров было меньше или равно количеству остановок, то это могло бы быть случайным или достоверным, но в данном случае это не так.

• Событие D = {найдется остановка, на которой никто не выйдет}

Это достоверное событие. У нас 15 пассажиров и 10 остановок. По принципу Дирихле, если мы распределяем 15 пассажиров по 10 остановкам, то хотя бы на одной остановке выйдет больше одного пассажира. Это означает, что не может быть так, чтобы на каждой остановке вышло ровно по одному пассажиру (это было бы 10 пассажиров). Следовательно, будет как минимум одна остановка, на которой никто не выйдет, если все выйдут на разных остановках. Если же несколько пассажиров выйдут на одной, то тем более найдется остановка, на которой никто не выйдет. Однако, если интерпретировать, что все 15 пассажиров вышли, то найдется остановка, на которой никто не выйдет, т.к. 15 > 10. Нет, это не верно. Мы должны рассмотреть все варианты. Если все 15 пассажиров выйдут на разных остановках, то на 5 остановках никто не выйдет. Если все 15 пассажиров выйдут на одной остановке, то на 9 остановках никто не выйдет. То есть, найдутся остановки, на которых никто не выйдет. Это достоверное событие. (Коррекция) Если интерпретировать «найдется остановка, на которой никто не выйдет» как «существует остановка, на которой никто не выйдет», то это достоверное событие, так как 15 пассажиров распределяются по 10 остановкам, и не может быть так, чтобы на каждой остановке вышел ровно 1 пассажир, т.к. всего 10 остановок. Если бы на каждой остановке вышло ровно 1.5 пассажира, то это было бы 15. Так как число пассажиров целое, то будет как минимум одна остановка, на которой никто не выйдет, если мы рассматриваем выход пассажиров. Но если все 15 пассажиров выйдут, то на одной остановке выйдет 15, а на остальных 0. Значит, найдется остановка, на которой никто не выйдет. Это достоверно.

• Событие E = {на всех остановках выйдет четное число пассажиров}

Это случайное событие. Возможно, что суммарное число вышедших пассажиров на всех остановках будет четным (например, 10 пассажиров вышли на первой остановке, а 5 — на второй, но это не все остановки). Сумма 15 пассажиров, вышедших на 10 остановках, может быть распределена так, что на каждой остановке выходит четное число пассажиров (например, 10 остановок, на каждой по 1.5 пассажира — но это невозможно). Если на 5 остановках вышло по 3 пассажира (нечетное), а на остальных 5 остановках никто не вышел (четное), то суммарно 15. То есть, событие E не является достоверным. Можем ли мы вообще получить четное число пассажиров на каждой остановке, если их всего 15? Нет, потому что сумма 10 четных чисел будет четной, а 15 — нечетное. Следовательно, невозможно, чтобы на ВСЕХ остановках вышло четное число пассажиров, если общее число пассажиров нечетное. Это невозможное событие.

• Событие F = {на всех остановках выйдет нечетное число пассажиров}

Это случайное событие. У нас 15 пассажиров и 10 остановок. Сумма 10 нечетных чисел будет четной. Так как общее число пассажиров (15) нечетное, то невозможно, чтобы на всех 10 остановках вышло нечетное число пассажиров. Следовательно, это невозможное событие. (Коррекция) По условию, на каждой остановке выходит некоторое число пассажиров. Сумма чисел, выходящих на каждой из 10 остановок, равна 15. Если предположить, что на каждой остановке выходит нечетное число пассажиров, то сумма 10 нечетных чисел будет четной. Поскольку 15 — нечетное число, это событие невозможно.

Итог:

Невозможные события: C, E, F.

Случайные события: A, B.

Достоверные события: D.