11 Что общего и что различного у треугольников АВС и МКТ? Измерь стороны этих треугольников, сосчитай их периметры и площади. Что ты замечаешь?

Решение:

Измерение сторон треугольников АВС и МКТ по изображению:

• Для треугольника АВС: AB ≈ 4 см, BC ≈ 3 см, AC ≈ 5 см.
• Для треугольника МКТ: MK ≈ 8 см, KT ≈ 6 см, MT ≈ 10 см.

Периметры:

• Периметр треугольника АВС: \( P_{ABC} = AB + BC + AC = 4 + 3 + 5 = 12 \) см.
• Периметр треугольника МКТ: \( P_{MKT} = MK + KT + MT = 8 + 6 + 10 = 24 \) см.

Площади:

Оба треугольника являются прямоугольными (так как стороны удовлетворяют теореме Пифагора: \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \) и \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \)). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

• Площадь треугольника АВС: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \) см².
• Площадь треугольника МКТ: \( S_{MKT} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot KT = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \) см².

Общее:

• Оба треугольника прямоугольные.
• Стороны треугольников пропорциональны. Отношение сторон треугольника МКТ к сторонам треугольника АВС равно 2 (\( \frac{8}{4} = \frac{6}{3} = \frac{10}{5} = 2 \)).

Различное:

• Треугольник МКТ больше треугольника АВС.
• Периметр треугольника МКТ в 2 раза больше периметра треугольника АВС (\( 24 : 12 = 2 \)).
• Площадь треугольника МКТ в 4 раза больше площади треугольника АВС (\( 24 : 6 = 4 \)).

Что замечаем:

Треугольник МКТ является подобным треугольнику АВС. При увеличении линейных размеров фигуры в \( k \) раз (в данном случае \( k=2 \)), периметр увеличивается в \( k \) раз, а площадь увеличивается в \( k^2 \) раз.