11) Дано: \( ∠1 \) на 60° меньше \( ∠2 \). Найти \( ∠3 \)

Решение:

Линии \( m \) и \( n \) параллельны.

Угол \( ∠1 \) и угол \( ∠2 \) являются накрест лежащими при секущей \( k \) и параллельных прямых \( m \) и \( n \).

По условию, \( ∠1 \) на 60° меньше \( ∠2 \). Запишем это как \( ∠1 = ∠2 - 60^° \).

Так как \( m \) || \( n \), то накрест лежащие углы равны: \( ∠1 = ∠2 \).

Приравняем оба выражения для \( ∠1 \):

\( ∠2 - 60^° = ∠2 \)

\( -60^° = 0 \)

Это противоречие. Ошибка в условии или интерпретации рисунка. В рисунке угол 1 и угол 2 не накрест лежащие. Они являются односторонними углами (или смежные углы с односторонними).

Переосмыслим условие: Угол 1 и Угол 2 - соответственные углы. Нет, на рисунке это не так.

Угол 1 и Угол 2 - внутренние накрест лежащие? Нет.

Угол 1 и Угол 2 - односторонние? Нет.

Угол 1 и Угол 3 - вертикальные. \( ∠1 = ∠3 \).

Угол 2 и Угол 3 - смежные. \( ∠2 + ∠3 = 180^° \).

Условие: \( ∠1 \) на 60° меньше \( ∠2 \).

Пусть \( ∠1 = x \). Тогда \( ∠2 = x + 60^° \).

Так как \( ∠1 \) и \( ∠3 \) вертикальные, то \( ∠3 = ∠1 = x \).

Угол \( ∠2 \) и угол \( ∠3 \) являются смежными, значит, их сумма равна 180°:

\( ∠2 + ∠3 = 180^° \)

Подставим выражения через \( x \):

\( (x + 60^°) + x = 180^° \)

\( 2x + 60^° = 180^° \)

\( 2x = 180^° - 60^° \)

\( 2x = 120^° \)

\( x = \frac{120^°}{2} \)

\( x = 60^° \)

Значит, \( ∠1 = 60^° \) и \( ∠3 = 60^° \).

Проверим \( ∠2 \): \( ∠2 = x + 60^° = 60^° + 60^° = 120^° \).

\( ∠2 + ∠3 = 120^° + 60^° = 180^° \) (смежные углы, верно).

Ответ: 60°