11. Дано: ΔABC, BC = 6, PΔMEN — ?

По засечкам E, M и N — середины сторон BC, CA и BA соответственно. Угол C прямой, а угол A равен 30°.

1. В прямоугольном треугольнике сторона BC лежит напротив угла 30°, поэтому гипотенуза BA вдвое больше BC: BA = 12.

2. По теореме Пифагора: \(CA=\sqrt{BA^2-BC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}\).

3. Треугольник MEN — средний треугольник ΔABC, поэтому его стороны равны половинам соответствующих сторон исходного треугольника: MN = 3, EN = 3√3, EM = 6.

4. Тогда \(P_{\triangle MEN}=3+3\sqrt{3}+6=9+3\sqrt{3}\).

Ответ: \(P_{\triangle MEN}=9+3\sqrt{3}\).