11. Дано: AD ⟂ AC, AC ⟂ AB, BD ⟂ CB. Докажите, что BD ⟂ (ABC).

Доказательство.

1. В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: BC² = AB² + AC².
2. В прямоугольном треугольнике DBC, поскольку BD ⟂ CB: DC² = BD² + BC².
3. В прямоугольном треугольнике ADC, поскольку AD ⟂ AC: DC² = AD² + AC².
4. Приравняем выражения для DC² и подставим BC² = AB² + AC²: BD² + AB² + AC² = AD² + AC². Следовательно, AD² = AB² + BD².
5. По обратной теореме Пифагора треугольник ABD прямоугольный при B, поэтому BD ⟂ AB.
6. Прямые AB и BC пересекаются и лежат в плоскости (ABC). Так как BD перпендикулярна обеим этим прямым, BD ⟂ (ABC).