11. Дано: AO = 10, OE = 8, OF = 6. Найти: AB, CD.

Решение:

Для решения задачи №11 нам нужно найти длины хорд AB и CD. Нам известно, что AO = 10, что является радиусом окружности. OE = 8 и OF = 6 — это расстояния от центра окружности до хорд AB и CD соответственно.

1. Находим длину хорды AB:

1. Треугольник AEO является прямоугольным, так как OE перпендикулярно хорде AB (по свойству радиуса, проведенного к хорде).
2. По теореме Пифагора найдем половину хорды AE:
   \[ AE^2 = AO^2 - OE^2 \]
   \[ AE^2 = 10^2 - 8^2 \]
   \[ AE^2 = 100 - 64 \]
   \[ AE^2 = 36 \]
   \[ AE = \sqrt{36} = 6 \]
3. Так как OE делит хорду AB пополам, то длина хорды AB равна:
   \[ AB = 2 \times AE = 2 \times 6 = 12 \]

2. Находим длину хорды CD:

1. Аналогично, треугольник CFO является прямоугольным, так как OF перпендикулярно хорде CD.
2. По теореме Пифагора найдем половину хорды CF:
   \[ CF^2 = CO^2 - OF^2 \]
   (CO — это радиус окружности, равный AO = 10).
   \[ CF^2 = 10^2 - 6^2 \]
   \[ CF^2 = 100 - 36 \]
   \[ CF^2 = 64 \]
   \[ CF = \sqrt{64} = 8 \]
3. Так как OF делит хорду CD пополам, то длина хорды CD равна:
   \[ CD = 2 \times CF = 2 \times 8 = 16 \]

Ответ: AB = 12, CD = 16.