11) Дано: \(BB_1\parallel CC_1\), \(BC\cap\alpha=A\), \(B_1\in\alpha\), \(C_1\in\alpha\), \(AB:BC=5:2\). Доказать: \(AB_1:AC_1=5:7\).

Так как точки A, B и C лежат на одной прямой и A находится между B и C, то

\(AC=AB+BC\).

Из отношения \(AB:BC=5:2\) следует, что \(AB:AC=5:(5+2)=5:7\).

Рассмотрим плоскость, содержащую прямую BC и параллельные прямые BB₁ и CC₁. Её пересечение с плоскостью α проходит через точки A, B₁ и C₁. Поэтому треугольники ABB₁ и ACC₁ подобны: у них общий угол при A, а BB₁ ∥ CC₁.

Из подобия треугольников соответствующие стороны пропорциональны:

\(\dfrac{AB_1}{AC_1}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{7}.\)

Следовательно, \(AB_1:AC_1=5:7\).