11) Дано: BB₁ ∥ CC₁, BC ∩ α = A, B₁ ∈ α, C₁ ∈ α, AB : BC = 5 : 2. Доказать: AB₁ : AC₁ = 5 : 7.

Из задания 10 следует, что треугольники \(ABB_1\) и \(ACC_1\) подобны:

\[\triangle ABB_1 \sim \triangle ACC_1.\]

Соответствующие стороны пропорциональны:

\[\frac{AB_1}{AC_1}=\frac{AB}{AC}.\]

1. Так как точка B лежит между A и C, то
   \[AC=AB+BC.\]
2. По условию \(AB:BC=5:2\). Поэтому можно принять \(AB=5x\), \(BC=2x\).
3. Тогда
   \[AC=5x+2x=7x.\]
4. Следовательно,
   \[\frac{AB}{AC}=\frac{5x}{7x}=\frac57.\]
5. Из подобия треугольников:
   \[\frac{AB_1}{AC_1}=\frac57.\]

Значит,

\[AB_1:AC_1=5:7.\]

Ответ: AB₁ : AC₁ = 5 : 7.