11. Дано: DB₁ = 15, sin α = 1/3, sin β = 2/5. Найдите Sосн.

Решение:

Задача нахождения площади основания призмы, учитывая данные об отрезке DB₁ и синусах углов α и β.

1. Анализ задачи: Необходимо найти площадь основания призмы. Для этого нам потребуются размеры основания. Данные sin α и sin β, а также длина DB₁ намекают на использование тригонометрии в прямоугольных треугольниках, которые можно построить внутри призмы.
2. Визуализация: Изобразим призму и соответствующие углы. Угол α, вероятно, связан с наклоном диагонали грани к основанию, а угол β — с наклоном пространственной диагонали к основанию.
3. Вычисления:
   Обозначим высоту призмы как h, а ребро основания как a. В прямоугольном треугольнике DBB₁ (где B₁D — диагональ грани, а BB₁ — высота), sin α = BB₁/DB₁ = h/15. Поскольку sin α = 1/3, то h/15 = 1/3, откуда h = 15/3 = 5.
   Теперь рассмотрим диагональ основания BD. В прямоугольном треугольнике BCD (если основание — квадрат), BD = a√2. В прямоугольном треугольнике BDD₁ (где DB₁ — пространственная диагональ), sin β = BB₁/DB₁ = h/15. Однако, угол β дан как угол наклона пространственной диагонали к основанию. В прямоугольном треугольнике DBD₁, где угол D B₁ D = β, имеем sin β = BD/DB₁. Значит, BD = DB₁ * sin β = 15 * (2/5) = 6.
4. Площадь основания:
   Мы знаем, что BD = 6. Если основание призмы — квадрат, то диагональ квадрата связана со стороной как BD = a√2. Следовательно, 6 = a√2, и сторона основания a = 6/√2 = 3√2.
   Площадь основания (квадрата) Sосн = a² = (3√2)² = 9 * 2 = 18.

Ответ: 18