11. Даны два шара, сделанные из одного и того же материала. Первый шар имеет диаметр 3 см и массу 108 грамм. Найди массу второго шара, если его диаметр 5 см.

Привет! Давай разберемся с этой задачей про шары. Все очень просто, если понять логику!

Дано:

• Шары из одного материала (это значит, что плотность у них одинаковая).
• Шар 1: диаметр d1 = 3 см, масса m1 = 108 г.
• Шар 2: диаметр d2 = 5 см.

Найти:

• Массу второго шара, m2.

Решение:

Главное тут — понять, как масса связана с размером шара. Масса объекта равна его объему, умноженному на плотность. Так как шары из одного материала, их плотность ρ одинакова.

Формула массы: m = V ⋅ ρ

Где V — объем шара. Формула объема шара:

• \[ V = \frac{4}{3} \times π \times r^3 \]

А радиус r — это половина диаметра d, то есть r = d / 2.

Подставим радиус в формулу объема:

• \[ V = \frac{4}{3} \times π \times (\frac{d}{2})^3 = \frac{4}{3} \times π \times \frac{d^3}{8} = \frac{1}{6} \times π \times d^3 \]

Теперь вернемся к массе. Для первого шара:

• \[ m1 = V1 \times Ρ = (\frac{1}{6} \times π \times d1^3) \times Ρ \]

Для второго шара:

• \[ m2 = V2 \times Ρ = (\frac{1}{6} \times π \times d2^3) \times Ρ \]

Заметил? Все множители, кроме d³, одинаковы для обоих шаров \(\frac{1}{6}, π, Ρ\). Значит, масса шара прямо пропорциональна кубу его диаметра.

Можно записать такое соотношение:

• \[ \frac{m2}{m1} = \frac{(\frac{1}{6} \times π \times d2^3) \times Ρ}{(\frac{1}{6} \times π \times d1^3) \times Ρ} = \frac{d2^3}{d1^3} = (\frac{d2}{d1})^3 \]

Теперь подставим наши значения:

• d1 = 3 см
• d2 = 5 см
• m1 = 108 г

Вычислим отношение диаметров в кубе:

• \[ (\frac{5}{3})^3 = \frac{5^3}{3^3} = \frac{125}{27} \]

Теперь найдем массу второго шара m2:

• \[ m2 = m1 \times (\frac{d2}{d1})^3 \]
• \[ m2 = 108 \text{ г} \times \frac{125}{27} \]

Можно сократить 108 и 27. 108 делится на 27, получается 4:

• \[ m2 = 4 \text{ г} \times 125 \]
• \[ m2 = 500 \text{ г} \]

Ответ: Масса второго шара составляет 500 грамм.