11. Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре раза выше второй, а вторая в три раза уже первой. Во сколько раз объём первой коробки больше объёма второй?

Привет! Давай разберём эту задачку про коробки.

Обе коробки — правильные четырёхугольные призмы. Это значит, что в основании у них квадраты.

Пусть:

• \[ h_1 \] — высота первой коробки
• \[ h_2 \] — высота второй коробки
• \[ a_1 \] — сторона основания первой коробки
• \[ a_2 \] — сторона основания второй коробки

По условию задачи:

• Первая коробка в четыре раза выше второй:
  \[ h_1 = 4h_2 \]
• Вторая коробка в три раза уже первой:
  \[ a_2 = \frac{1}{3}a_1 \]

Объём призмы вычисляется по формуле:

\[ V = S_{осн} \times h \]

Так как в основании лежат квадраты, площадь основания равна стороне в квадрате:

\[ S_{осн} = a^2 \]

Значит, объёмы коробок равны:

• Объём первой коробки:
  \[ V_1 = a_1^2 \times h_1 \]
• Объём второй коробки:
  \[ V_2 = a_2^2 \times h_2 \]

Теперь подставим известные соотношения во вторую формулу:

\[ V_2 = \left( \frac{1}{3}a_1 \right)^2 \times \left( \frac{1}{4}h_1 \right) \]

Раскроем скобки:

\[ V_2 = \frac{1}{9}a_1^2 \times \frac{1}{4}h_1 \]

\[ V_2 = \frac{1}{36}a_1^2h_1 \]

Сравниваем объёмы:

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{a_1^2h_1}{\frac{1}{36}a_1^2h_1} \]

Сокращаем одинаковые множители:

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{\frac{1}{36}} = 36 \]

Получается, объём первой коробки в 36 раз больше объёма второй.

Ответ: 36