11. Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Решение:

Пусть \( h_1 \) и \( w_1 \) — высота и ширина первой коробки, а \( h_2 \) и \( w_2 \) — высота и ширина второй коробки. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Для правильной четырёхугольной призмы площадь основания — это квадрат ширины (стороны основания).

Согласно условию:

• Первая коробка в полтора раза ниже второй: \( h_1 = \frac{1}{1.5} h_2 = \frac{2}{3} h_2 \).
• Вторая коробка вдвое шире первой: \( w_2 = 2 w_1 \).

Объём первой коробки: \( V_1 = w_1^2 \cdot h_1 \).

Объём второй коробки: \( V_2 = w_2^2 \cdot h_2 \).

Подставим известные соотношения во второй объём:

\( V_2 = (2 w_1)^2 \cdot h_2 = 4 w_1^2 \cdot h_2 \).

Теперь выразим \( h_2 \) через \( h_1 \) из первого соотношения: \( h_2 = \frac{3}{2} h_1 \).

Подставим это в выражение для \( V_2 \):

\( V_2 = 4 w_1^2 \cdot (\frac{3}{2} h_1) = 6 w_1^2 h_1 \).

Теперь найдём отношение объёмов:

\( \frac{V_1}{V_2} = \frac{w_1^2 h_1}{6 w_1^2 h_1} = \frac{1}{6} \).

Это означает, что объём первой коробки меньше объёма второй в 6 раз.

Ответ: в 6 раз.