11 Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС²=а·b, где а и b — основания трапеции.

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, где основаниями являются AD и BC. Диагональ AC делит трапецию на два треугольника: ABC и ADC.

Доказательство подобия:

1. Рассмотрим треугольники ABC и ADC.
2. Угол BAC равен углу ACD (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC).
3. Угол BCA равен углу CAD (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC).
4. По двум углам, треугольники ABC и ADC подобны (по первому признаку подобия).

Доказательство равенства АС²=а·b:

1. Из подобия треугольников ABC и ADC следует отношение их сторон:
2. \( \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{CD} \).
3. Нас интересует равенство, связывающее диагональ и основания. Рассмотрим соотношение:
4. \( \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} \)
5. Пусть \( BC = a \) и \( AD = b \) (или наоборот, в зависимости от того, какое основание больше).
6. Тогда \( \frac{a}{AC} = \frac{AC}{b} \)
7. Из этого равенства следует, что \( AC \cdot AC = a \cdot b \), то есть \( AC^2 = a \cdot b \).

Что и требовалось доказать.