11. Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) A(−3; −1), B(1; −1), C(1; −3), D(−3; −3); б) A(4; 1), B(3; 5), C(−1; 4), D(0; 0).

а) \(\overrightarrow{AB}=(4;0)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;-2)\), \(\overrightarrow{CD}=(-4;0)\), \(\overrightarrow{DA}=(0;2)\). Противоположные стороны параллельны, а смежные перпендикулярны, поскольку \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot0+0\cdot(-2)=0\). Значит, ABCD — прямоугольник.

Его стороны равны \(AB=4\) и \(BC=2\), поэтому \(S=AB\cdot BC=4\cdot2=8\).

б) \(\overrightarrow{AB}=(-1;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(-4;-1)\), \(\overrightarrow{CD}=(1;-4)\), \(\overrightarrow{DA}=(4;1)\). Противоположные стороны параллельны, а смежные перпендикулярны: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=(-1)(-4)+4(-1)=0\). Следовательно, ABCD — прямоугольник.

Длины смежных сторон: \(AB=\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{17}\), \(BC=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{17}\). Тогда \(S=AB\cdot BC=\sqrt{17}\cdot\sqrt{17}=17\).

Ответ: а) \(S=8\); б) \(S=17\).