11. Докажите, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне треугольника и равен её половине. Дано: △ABC, H и M — середины сторон AB и BC соответственно. Доказать: HM ∥ AC, HM = 1/2 AC.

Проведём через точку H отрезок HP, параллельный HM, так, чтобы P лежала на продолжении AC за точку A, и выберем HP = HM.

Так как HM ∥ AC, а A, P и C лежат на одной прямой, то HP ∥ AC. Следовательно, HP ∥ AC и PC ∥ HM, поэтому четырёхугольник CHPM — параллелограмм. Отсюда HP = CM.

По условию M — середина BC, значит, BM = CM. Следовательно, BM = HP. Кроме того, BM ∥ HP, поскольку BM лежит на BC, а HP ∥ AC? Эта параллельность не следует из построения; вместо этого используем построение через точку M: продолжим HM за M до P так, чтобы MP = HM. Тогда M — середина HP, а также середина BC.

В четырёхугольнике BHPC диагонали BC и HP пересекаются в точке M и делятся этой точкой пополам. Значит, BHPC — параллелограмм. Поэтому HP ∥ BC и HP = BC. Этот вспомогательный вывод не даёт требуемого направления к AC; применим стандартное доказательство через подобие.

Поскольку H и M — середины AB и BC, имеем BH = BA/2 и BM = BC/2. В треугольниках BHM и BAC угол при B общий, а стороны BH и BM вдвое меньше соответственно BA и BC; для вывода о параллельности удобнее воспользоваться обратной теоремой Фалеса: на сторонах BA и BC точки H и M делят отрезки в одинаковом отношении, BH/BA = BM/BC = 1/2. Следовательно, HM ∥ AC, а треугольники BHM и BAC подобны с коэффициентом 1/2. Поэтому HM = AC/2.

Ответ: HM ∥ AC и HM = 1/2 AC.