11. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон треугольника, параллелен третьей стороне треугольника и равен её половине. Дано: ΔABC, H и M — середины сторон AB и BC соответственно. Доказать: HM∥AC, HM=1/2 AC.

Доказательство.

1. На луче \(HM\) от точки \(M\) отложим отрезок \(MP\), равный отрезку \(MH\): \(MP=MH\).

2. Рассмотрим четырёхугольник \(CHBP\). Точка \(M\) — середина отрезка \(BC\) по условию и середина отрезка \(HP\) по построению. Следовательно, диагонали четырёхугольника взаимно делятся пополам, поэтому \(CHBP\) — параллелограмм.

   Значит, \(PC\parallel BH\) и \(PC=BH\).

3. Так как \(H\) — середина \(AB\), то \(AH=BH\). Следовательно, \(AH=PC\). Кроме того, \(AH\parallel PC\), поскольку точки \(A,H,B\) лежат на одной прямой, а \(PC\parallel BH\).

   Значит, четырёхугольник \(AHPC\) — параллелограмм по признаку: противоположные стороны параллельны и равны.

   Отсюда \(HP\parallel AC\) и \(HP=AC\).

4. По построению \(MP=MH\), а точка \(H\) лежит между точками \(M\) и \(P\), поэтому

   \[HP=HM+MP=2HM.\]

   Так как \(HP=AC\), получаем

   \[2HM=AC,\qquad HM=\frac12 AC.\]

   Поскольку \(HP\parallel AC\), а точки \(H,M,P\) лежат на одной прямой, то \(HM\parallel AC\).

Ответ: \(HM\parallel AC\), \(HM=\frac12 AC\).