11. Докажите, что при любом значении b: а) значение выражения \(\frac{1}{9}b^2 + \left(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b\right) + 2,75\) равно 3; б) значение выражения \(\left(3,2 - \frac{1}{4}b\right)\left(0,25b + 3,2\right) + \frac{1}{16}b^2\) равно 10,24.

Решение:

а) Докажем, что \(\frac{1}{9}b^2 + \left(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b\right) + 2,75 = 3\)

1. Рассмотрим произведение \(\left(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b\right)\). Это разность квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\), где \( a = \frac{1}{2} \) и \( b = \frac{1}{3}b \).
2. Тогда \(\left(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}b\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2\).
3. Подставим полученное в исходное выражение:

\(\frac{1}{9}b^2 + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2\right) + 2,75 = \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2 + 2,75\)

\(\frac{1}{9}b^2\) и \(-\frac{1}{9}b^2\) взаимно уничтожаются:

\(\frac{1}{4} + 2,75 = 0,25 + 2,75 = 3\)

Таким образом, значение выражения равно 3.

б) Докажем, что \(\left(3,2 - \frac{1}{4}b\right)\left(0,25b + 3,2\right) + \frac{1}{16}b^2 = 10,24\)

1. Преобразуем первое слагаемое. Заметим, что \(\frac{1}{4} = 0,25\) и \(3,2 = \frac{16}{5}\).
2. Выражение \(\left(3,2 - \frac{1}{4}b\right)\left(0,25b + 3,2\right)\) можно переписать как \(\left(3,2 - 0,25b\right)\left(0,25b + 3,2\right)\).
3. Это также разность квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), где \( a = 3,2 \) и \( b = 0,25b \).
4. Тогда \(\left(3,2 - 0,25b\right)\left(0,25b + 3,2\right) = (3,2)^2 - (0,25b)^2\).
5. Вычислим \((3,2)^2\): \(3,2 \times 3,2 = 10,24\).
6. Вычислим \((0,25b)^2\): \((0,25)^2 b^2 = 0,0625 b^2\).
7. Итак, первое слагаемое равно \(10,24 - 0,0625 b^2\).
8. Теперь подставим это в исходное выражение:

\(10,24 - 0,0625 b^2 + \frac{1}{16}b^2\)

Заметим, что \(\frac{1}{16} = 0,0625\).

\(10,24 - 0,0625 b^2 + 0,0625 b^2\)

\(-0,0625 b^2\) и \(+0,0625 b^2\) взаимно уничтожаются:

\(10,24\)

Таким образом, значение выражения равно 10,24.

Ответ: а) значение выражения равно 3; б) значение выражения равно 10,24.