№11. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm2$ значение выражения не зависит от $a$: $\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{(a-2)^2}{2}\left(\dfrac{1}{a^2-4}+\dfrac{1}{a^2-4a+4}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: №11. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm2$ значение выражения не зависит от $a$:…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $a^2-4=(a-2)(a+2)$, $a^2-4a+4=(a-2)^2$.

Сложим дроби в скобках:

$\dfrac{1}{(a-2)(a+2)}+\dfrac{1}{(a-2)^2}=\dfrac{a-2+a+2}{(a-2)^2(a+2)}=\dfrac{2a}{(a-2)^2(a+2)}$.

Подставим результат в исходное выражение и упростим:

$\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{(a-2)^2}{2}\cdot\dfrac{2a}{(a-2)^2(a+2)}=\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{a}{a+2}=0$.

При $a\ne\pm2$ все знаменатели исходного выражения ненулевые, поэтому преобразования допустимы.

Ответ: значение выражения постоянно и равно $0$.

№11. Докажите, что при всех значениях \(a\ne\pm2\) значение выражения не зависит от \(a\): \(\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{(a-2)^2}{2}\left(\dfrac{1}{a^2-4}+\dfrac{1}{a^2-4a+4}\right)\).