№11. Два тела движутся со скоростями v₁ = 1 м/с и v₂ = 3 м/с по прямолинейным траекториям, которые пересекаются под прямым углом. Определите минимальное расстояние между телами S при их движении, если начальный момент скорости тел направлены к точке пересечения траекторий, и они находились на расстоянии L = 10 м от неё. В какой момент времени это произойдет?

Решение:

Пусть точка пересечения траекторий будет началом координат (0,0). Тела движутся вдоль осей Ox и Oy. Скорости тел постоянны и направлены к началу координат.

Скорость первого тела \( v_1 = 1 \) м/с, скорость второго тела \( v_2 = 3 \) м/с.

Начальное расстояние тел до точки пересечения \( L = 10 \) м.

Пусть первое тело находится на оси Ox, а второе — на оси Oy.

Координаты первого тела в момент времени \( t \): \( x_1(t) = v_1 t \)

Координаты второго тела в момент времени \( t \): \( y_2(t) = v_2 t \)

Начальные положения тел: \( x_1(0) = 10 \) м, \( y_2(0) = 10 \) м.

Тогда уравнения движения тел будут:

\( x_1(t) = 10 - v_1 t \)

\( y_2(t) = 10 - v_2 t \)

Расстояние \( S \) между телами в момент времени \( t \) определяется по теореме Пифагора:

\[ S(t) = \sqrt{(x_1(t) - 0)^2 + (0 - y_2(t))^2} = \sqrt{(10 - v_1 t)^2 + (10 - v_2 t)^2} \]

Чтобы найти минимальное расстояние, нужно минимизировать функцию \( S(t) \). Это эквивалентно минимизации \( S^2(t) \).

\[ S^2(t) = (10 - v_1 t)^2 + (10 - v_2 t)^2 \]

Возьмем производную по \( t \) и приравняем к нулю:

\[ \frac{d(S^2)}{dt} = 2(10 - v_1 t)(-v_1) + 2(10 - v_2 t)(-v_2) = 0 \]

\[ -v_1(10 - v_1 t) - v_2(10 - v_2 t) = 0 \]

\[ -10v_1 + v_1^2 t - 10v_2 + v_2^2 t = 0 \]

\[ t(v_1^2 + v_2^2) = 10(v_1 + v_2) \]

\[ t = \frac{10(v_1 + v_2)}{v_1^2 + v_2^2} \]

Подставим значения \( v_1 = 1 \) м/с и \( v_2 = 3 \) м/с:

\[ t = \frac{10(1 + 3)}{1^2 + 3^2} = \frac{10 \times 4}{1 + 9} = \frac{40}{10} = 4 \text{ с} \]

Теперь найдём минимальное расстояние \( S \) при \( t = 4 \) с:

\[ S_{min} = \sqrt{(10 - 1 \times 4)^2 + (10 - 3 \times 4)^2} \]

\[ S_{min} = \sqrt{(10 - 4)^2 + (10 - 12)^2} \]

\[ S_{min} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \]

\[ S_{min} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10} \text{ м} \]

Приблизительное значение: \( 2\sqrt{10} \approx 2 \times 3.162 = 6.324 \) м.

Ответ: Минимальное расстояние между телами составит \( 2\sqrt{10} \) м. Это произойдет в момент времени \( t = 4 \) с.