11. Два велосипедиста выехали одновременно из двух пунктов навстречу друг другу. Один велосипедист может проехать весь путь за 4\( \frac{2}{3} \) часа, а другой - за 3\( \frac{1}{2} \) часа. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

Найдем скорость каждого велосипедиста, приняв весь путь за 1 условную единицу.

1. Скорость первого велосипедиста: \( v_1 = \frac{1}{4\frac{2}{3}} \) пути в час.
2. Переведём смешанное число в неправильную дробь: \( 4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3} \) часа.
3. Скорость первого велосипедиста: \( v_1 = \frac{1}{\frac{14}{3}} = \frac{3}{14} \) пути в час.
4. Скорость второго велосипедиста: \( v_2 = \frac{1}{3\frac{1}{2}} \) пути в час.
5. Переведём смешанное число в неправильную дробь: \( 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} \) часа.
6. Скорость второго велосипедиста: \( v_2 = \frac{1}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7} \) пути в час.
7. Найдем скорость сближения велосипедистов, сложив их скорости: \( v_{сбл} = v_1 + v_2 \).
8. \( v_{сбл} = \frac{3}{14} + \frac{2}{7} \)
9. Приведём дроби к общему знаменателю (14): \( v_{сбл} = \frac{3}{14} + \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{3}{14} + \frac{4}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \) пути в час.
10. Время до встречи найдем, разделив весь путь (1) на скорость сближения: \( t = \frac{1}{v_{сбл}} \).
11. \( t = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \) часа.

Ответ: 2 часа.