11. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а синус угла между ними равен \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\). Найдите третью сторону треугольника.

Обозначим угол между сторонами 6 см и 9 см через \(\alpha\). По формуле синуса:

\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\), поэтому \(\cos\alpha=\pm\frac{1}{3}\). Синус положителен и сам по себе не определяет, острый угол или тупой, поэтому возможны два значения третьей стороны.

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\):

\(c^2=6^2+9^2-2\cdot6\cdot9\cos\alpha=117-108\cos\alpha\).

1. Если угол острый, \(\cos\alpha=\frac{1}{3}\): \(c^2=81\), значит \(c=9\) см.
2. Если угол тупой, \(\cos\alpha=-\frac{1}{3}\): \(c^2=153\), значит \(c=3\sqrt{17}\) см.

Ответ: 9 см или \(3\sqrt{17}\) см.