11. Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концен-трации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?

Привет! Давай разберем эту задачку вместе. Она про растворы, но не пугайся, это просто смесь. Мы будем использовать алгебру, чтобы найти неизвестное.

Дано:

• \[ m_1 = 40 \text{ кг} \]
• \[ m_2 = 30 \text{ кг} \]
• Когда сливаем 40 кг и 30 кг, получаем раствор с 73% кислоты.
• Когда сливаем равные массы растворов, получаем раствор с 72% кислоты.

Найти:

• Концентрацию кислоты в первом растворе (x).

Решение:

1. Обозначим концентрации:
   • Пусть концентрация кислоты в первом растворе будет x%.
   • Пусть концентрация кислоты во втором растворе будет y%.
2. Первое условие: Сливаем 40 кг первого раствора и 30 кг второго.
• Масса кислоты в первом растворе: $$0.01 \times 40 \times x$$
• Масса кислоты во втором растворе: $$0.01 \times 30 \times y$$
• Общая масса раствора: $$40 + 30 = 70$$ кг
• Общая масса кислоты: $$0.01 \times 40 \times x + 0.01 \times 30 \times y$$
• Концентрация в итоговом растворе: 73%

Составим уравнение:

\[ \frac{0.01 \times 40 \times x + 0.01 \times 30 \times y}{70} = 0.73 \]

Умножим обе части на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[ \frac{40x + 30y}{70} = 73 \]

\[ 40x + 30y = 73 \times 70 \]

\[ 40x + 30y = 5110 \]

Разделим на 10:

\[ 4x + 3y = 511 (1) \]

3. Второе условие: Сливаем равные массы растворов. Возьмем для примера по 1 кг каждого раствора.
• Масса кислоты в первом растворе: $$0.01 \times 1 \times x$$
• Масса кислоты во втором растворе: $$0.01 \times 1 \times y$$
• Общая масса раствора: $$1 + 1 = 2$$ кг
• Общая масса кислоты: $$0.01 \times x + 0.01 \times y$$
• Концентрация в итоговом растворе: 72%

Составим второе уравнение:

\[ \frac{0.01 \times x + 0.01 \times y}{2} = 0.72 \]

Умножим обе части на 100:

\[ \frac{x + y}{2} = 72 \]

\[ x + y = 144 (2) \]

4. Решаем систему уравнений:
• У нас есть два уравнения:

\[ \begin{cases} 4x + 3y = 511 \\ x + y = 144 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим y:

\[ y = 144 - x \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 4x + 3(144 - x) = 511 \]

\[ 4x + 432 - 3x = 511 \]

\[ x + 432 = 511 \]

\[ x = 511 - 432 \]

\[ x = 79 \]

5. Проверка (необязательно, но полезно!):
• Если $$x = 79$$, то $$y = 144 - 79 = 65$$.
• Первое условие: $$\frac{40 \times 79 + 30 \times 65}{70} = \frac{3160 + 1950}{70} = \frac{5110}{70} = 73$$. Верно!
• Второе условие: $$\frac{1 \times 79 + 1 \times 65}{2} = \frac{144}{2} = 72$$. Верно!

Ответ: 79