11. Из точки A, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр AD и две равные наклонные AB и AC. Известно, что ∠DAB = ∠BAC = 60°, AD = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных, угол между прямой AB и плоскостью α.

Так как AD перпендикулярна плоскости α, то треугольник ADB прямоугольный, а DB — проекция наклонной AB на плоскость α.

1. В прямоугольном треугольнике ADB: \(\angle DAB=60^\circ\), поэтому \(\angle ABD=30^\circ\).
2. Найдём наклонную AB: \(AB=\dfrac{AD}{\cos 60^\circ}=\dfrac{1.5}{0.5}=3\) см.
3. Так как \(AB=AC\) и \(\angle BAC=60^\circ\), треугольник ABC равносторонний. Следовательно, \(BC=AB=3\) см.
4. Угол между прямой AB и плоскостью α равен углу между прямой AB и её проекцией DB: \(\angle(AB,\alpha)=\angle ABD=30^\circ\).

Ответ: расстояние между основаниями наклонных \(BC=3\) см; угол между прямой \(AB\) и плоскостью α равен \(30^\circ\).