11) \(\left(\frac{1}{a^2+3a+2}+\frac{2a}{a^2+4a+3}+\frac{1}{a^2+5a+6}\right)\cdot\frac{(a-3)^2+12a}{2}\)

Разложим квадратные трёхчлены:

\[a^2+3a+2=(a+1)(a+2),\]

\[a^2+4a+3=(a+1)(a+3),\]

\[a^2+5a+6=(a+2)(a+3).\]

Приведём сумму к общему знаменателю \((a+1)(a+2)(a+3)\):

\[\frac{a+3+2a(a+2)+a+1}{(a+1)(a+2)(a+3)}\]

\[=\frac{2a^2+6a+4}{(a+1)(a+2)(a+3)}\]

\[=\frac{2(a+1)(a+2)}{(a+1)(a+2)(a+3)}=\frac{2}{a+3}.\]

Вторая часть:

\[\frac{(a-3)^2+12a}{2}=\frac{a^2-6a+9+12a}{2}=\frac{(a+3)^2}{2}.\]

Следовательно,

\[\frac{2}{a+3}\cdot\frac{(a+3)^2}{2}=a+3.\]

Ответ: \(a+3\).