11. ΔMPK=ΔMPN (см. рисунок) по ..., если ∠KMP=∠NPM.

Задание 11

Чтобы треугольники ΔMPK и ΔMPN были равны по двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников, известный как «первый»), необходимо, чтобы:

• MP — общая сторона.
• PK = PN (стороны равны).
• ∠MPK = ∠MPN (угол между этими сторонами равен).

Также, если рассмотреть вариант с гипотенузой и острым углом (для прямоугольных треугольников), то:

• MP — общая гипотенуза.
• ∠MKP = ∠MNP (острые углы равны).

Исходя из рисунка, где MP — общая сторона, а ∠KMP=∠NPM — углы при общей стороне, то есть два угла и сторона между ними, то подходит признак равенства по двум сторонам и углу между ними.

Если рассматривать вариант, что MP — гипотенуза, а ∠PKM = ∠PNM — равные острые углы, это тоже является признаком равенства прямоугольных треугольников.

Однако, учитывая стандартные признаки равенства треугольников (по трем сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам), вариант «гипотенузе и острому углу» относится к прямоугольным треугольникам. Если треугольники не указаны как прямоугольные, то более общим случаем будет признак по двум сторонам и углу между ними.

Учитывая, что MP — общая сторона, а ∠KMP=∠NPM — данные углы, мы имеем сторону и два прилежащих угла. Либо, если MP — гипотенуза, то ∠MKP=∠MNP — два острых угла. В условии указано ∠KMP=∠NPM, что является углом при катете, если MP — катет. Но на рисунке MP — общая сторона.

Поскольку MP — общая сторона, то если PK=PN, то по двум сторонам и углу между ними (∠KMP = ∠NPM). Если KP=NP (другой вариант), то невозможно определить равенство.

Если ∠PKM = ∠PNM, то при общей стороне MP, мы имеем сторону и два прилежащих угла. Но в задании указано ∠KMP = ∠NPM.

Наиболее подходящий вариант, учитывая, что MP — общая сторона, а ∠KMP=∠NPM — данные углы, это случай, когда треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (если считать MP стороной). Однако, такой вариант ответа не предложен.

Рассмотрим вариант, если MP — гипотенуза, а ∠MKP = ∠MNP — равные острые углы. Это не соответствует условию ∠KMP=∠NPM.

Вернемся к варианту, когда MP — общая сторона. Если PK = PN, и ∠KMP = ∠NPM, то по двум сторонам и углу между ними (признак СУС), но это не вариант ответа.

Если MP — общая сторона, и ∠PKM = ∠PNM, то по стороне и двум прилежащим углам (признак УСУ), но это не вариант ответа.

Если MP — общая сторона, и ∠KPM = ∠NPM, то по двум сторонам (MP и KP=NP) и углу между ними (∠KPM = ∠NPM).

В задании ∠KMP=∠NPM. Если MP - гипотенуза, и ∠MKP = ∠MNP, то равенство по гипотенузе и острому углу.

Если MP - катет, и ∠KPM = ∠NPM, и ∠MKP = ∠MNP, то равенство по катету и острому углу.

В условии четко сказано ∠KMP=∠NPM. Если MP — общая сторона, то ∠KMP и ∠NMP — это равные углы. Если ∠PKM = ∠PNM, то равенство по стороне и двум прилежащим углам. Если PK = PN, то равенство по двум сторонам и углу между ними (∠KMP = ∠NPM).

Рассмотрим вариант: г) гипотенузе и острому углу. Это признак равенства прямоугольных треугольников. Если MP — гипотенуза, и, например, ∠MKP = ∠MNP, то треугольники равны. Однако, в условии сказано ∠KMP = ∠NPM, а не ∠MKP = ∠MNP.

Если MP — это катет, и ∠KMP=∠NPM — равные углы, то это будет признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу.

Ответ: г) гипотенузе и острому углу.