Ответ:

Мы бескорыстно шефствуем над местным театром и областной библиотекой. Проверочные слова: корысть (бескорыстно), шеф (шефствуем), место (местным), область (областной), библиотека (библиотекой).

«Бескорыстно»: приставка бес-, корень -корыст-, суффикс -н-, суффикс наречия -о.