11. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник, изображенный на клетчатой бумаге. Каждая клетка имеет размер 1x1.

Предположим, что вершины прямоугольного треугольника находятся в точках:

• A = (0, 3)
• B = (0, 0)
• C = (4, 0)

Прямой угол находится в вершине B.

Медиана, проведенная из вершины прямого угла (B), соединяет эту вершину с серединой противоположной стороны (гипотенузы AC).

Найдем координаты середины гипотенузы AC:

Координата x середины = (x_A + x_C) / 2 = (0 + 4) / 2 = 2

Координата y середины = (y_A + y_C) / 2 = (3 + 0) / 2 = 1.5

Таким образом, середина гипотенузы AC находится в точке M = (2, 1.5).

Теперь найдем длину медианы BM, используя формулу расстояния между двумя точками:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Длина медианы BM = √((2 - 0)² + (1.5 - 0)²) = √(2² + 1.5²) = √(4 + 2.25) = √(6.25) = 2.5

Альтернативный подход:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Найдем длину гипотенузы AC:

AC = √((4 - 0)² + (0 - 3)²) = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √(25) = 5

Длина медианы равна половине гипотенузы:

Медиана = AC / 2 = 5 / 2 = 2.5

Ответ: 2.5