№11. На рисунке ∠APC = ∠PNF. Докажите, что ∠DPN + ∠PNM = 180°.

Углы ∠APC и ∠DPN — вертикальные, поэтому ∠DPN = ∠APC.

По условию ∠APC = ∠PNF. Следовательно, ∠DPN = ∠PNF.

Лучами NM и NF образована прямая, поэтому ∠PNF и ∠PNM — смежные углы: ∠PNF + ∠PNM = 180°.

Заменяя ∠PNF равным ему углом ∠DPN, получаем ∠DPN + ∠PNM = 180°.

Ответ: ∠DPN + ∠PNM = 180°.