11. На рисунке изображен график функции вида y = ax^2 + bx + c. установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведенную в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Решение:

На графике изображена парабола, ветви которой направлены вниз. Это означает, что коэффициент \( a \) отрицательный.

Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \). Из графика видно, что вершина находится между \( x=0 \) и \( x=2 \). Также видно, что ось симметрии параболы находится правее оси \( y \), значит \( -\frac{b}{2a} > 0 \). Так как \( a < 0 \), то \( -b < 0 \), следовательно, \( b > 0 \).

Утверждение А: функция возрастает на промежутке.
Из графика видно, что функция возрастает до вершины параболы. Вершина находится в точке \( x \) между \( 0 \) и \( 2 \), примерно \( x = 1 \). Функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 1] \). Наиболее подходящий промежуток из предложенных — \( [-1; 1] \) (пункт 2). На этом промежутке функция действительно возрастает.

Утверждение Б: функция убывает на промежутке.
Функция убывает после вершины параболы. Функция убывает на промежутке \( [1; \infty) \). Из предложенных промежутков, на которых функция убывает, подходят \( [0; 3] \) (пункт 1), \( [2; 4] \) (пункт 3) и \( [1; 4] \) (пункт 4). Однако, если функция возрастает до \( x=1 \) и убывает после \( x=1 \), то промежуток \( [0; 3] \) включает в себя как возрастание (от 0 до 1), так и убывание (от 1 до 3). Промежутки \( [2; 4] \) и \( [1; 4] \) полностью находятся на промежутке убывания.

Давайте уточним вершину. Парабола пересекает ось \( x \) в точках \( -1 \) и \( 3 \) (примерно). Вершина находится посередине: \( x_v = \frac{-1+3}{2} = 1 \). Таким образом, функция возрастает на \( (-\infty; 1] \) и убывает на \( [1; \infty) \).

• А) функция возрастает на промежутке: \( [0; 3] \) — не подходит, так как на \( [1; 3] \) функция убывает. \( [-1; 1] \) — подходит, так как на этом промежутке функция возрастает.
• Б) функция убывает на промежутке: \( [0; 3] \) — не подходит, так как на \( [0; 1] \) функция возрастает. \( [-1; 1] \) — не подходит, так как на этом промежутке функция возрастает. \( [2; 4] \) — подходит, так как этот промежуток полностью лежит в \( [1; \infty) \). \( [1; 4] \) — подходит, так как этот промежуток полностью лежит в \( [1; \infty) \).

В задании просят выбрать один промежуток для каждого утверждения. Если функция возрастает на \( [-1; 1] \) (А=2), то функция убывает на \( [1; ∞) \). Среди предложенных для Б, промежутки \( [2; 4] \) (Б=3) и \( [1; 4] \) (Б=4) подходят. Обычно выбирают самый узкий или наиболее репрезентативный промежуток. Если А=2, то Б может быть 3 или 4.

Посмотрим на таблицу ответа. Нужно вписать цифры под буквами А и Б.

Если А = 2 (возрастает на [-1; 1]), то Б должно быть на промежутке убывания [1; ∞). Варианты 1, 3, 4. Вариант 1 [0; 3] не подходит, так как функция возрастает на [0; 1]. Варианты 3 [2; 4] и 4 [1; 4] подходят.

Предположим, что в задании подразумевается, что функция возрастает только на указанном промежутке, и убывает только на указанном промежутке.

А) Функция возрастает на промежутке \( [-1; 1] \) (2). Это верно.

Б) Функция убывает на промежутке \( [1; 4] \) (4). Это верно.

Проверим альтернативный вариант. Если А=2, то Б=3.

Таблица ответа предполагает, что нужно написать цифру под буквой.

А) функция возрастает на промежутке \( [-1; 1] \) (2)

Б) функция убывает на промежутке \( [1; 4] \) (4)

или

Б) функция убывает на промежутке \( [2; 4] \) (3)

Обычно в таких задачах выбирают тот промежуток, который полностью соответствует свойству. Если А=2, то Б=4.

Запишем в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: А Б

А = 2, Б = 4.

Таблица соответствия:

Ответ: 24