11) На рисунке изображён параллелограмм. Его диагонали перпендикулярны; угол между нижней стороной и диагональю равен 30°. Отрезок от верхней левой вершины до пересечения диагоналей равен 2. Найдите x — длину боковой стороны.

Обозначим точку пересечения диагоналей через \(O\). Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому половина диагонали от верхней левой вершины до \(O\) равна 2.

Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Диагональ ромба делит углы пополам, поэтому угол между нижней стороной и диагональю равен половине угла при нижней левой вершине. Этот угол равен \(30°\), значит угол ромба там равен \(60°\), а соседний угол — \(120°\).

В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, угол при верхней левой вершине равен \(60°\), а противолежащий катет равен 2. Тогда \(\sin 60°=\frac{2}{x}\), откуда \(x=\frac{2}{\sin 60°}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(x=\frac{4\sqrt{3}}{3}\).