11. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно, так, что AM = 6, MB = 10, AN = 5 и NC = 13. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 10.

Question

Вопрос:

Фото задания: 11. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно, так, что AM = 6, MB = 10, AN = 5 и NC = 13.…

11. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно, так, что AM = 6, MB = 10, AN = 5 и NC = 13. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 10.

Accepted Answer

Так как M лежит на AB, а N — на AC, треугольники ABC и AMN имеют общий угол A. Их площади относятся как произведения длин сторон, образующих этот угол:

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{AMN}}=\dfrac{AB\cdot AC}{AM\cdot AN}\).

Находим полные стороны: \(AB=AM+MB=6+10=16\), \(AC=AN+NC=5+13=18\).

Тогда \(S_{ABC}=10\cdot\dfrac{16\cdot18}{6\cdot5}=96\).

Ответ: 96.