11. Найдите область определения функции y = \sqrt{x^3 - x - 6}

Пошаговое решение:

• Для нахождения области определения функции \( y = \sqrt{x^3 - x - 6} \) необходимо, чтобы выражение под корнем было больше или равно нулю:
• \[ x^3 - x - 6 ≥ 0 \]
• Решим кубическое неравенство. Найдем корни уравнения \( x^3 - x - 6 = 0 \).
• Подбором находим целый корень: \( x = 2 \), так как \( 2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0 \).
• Разделим многочлен \( x^3 - x - 6 \) на \( (x-2) \) столбиком или по схеме Горнера.
• Результат деления: \( (x-2)(x^2 + 2x + 3) \).
• Таким образом, неравенство примет вид: \( (x-2)(x^2 + 2x + 3) ≥ 0 \).
• Рассмотрим квадратный трехчлен \( x^2 + 2x + 3 \). Найдем его дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 · 1 · 3 = 4 - 12 = -8 \).
• Так как дискриминант отрицательный и коэффициент при \( x^2 \) (равный 1) положительный, то \( x^2 + 2x + 3 > 0 \) для всех действительных \( x \).
• Следовательно, неравенство \( (x-2)(x^2 + 2x + 3) ≥ 0 \) сводится к \( x-2 ≥ 0 \).
• Решая это линейное неравенство, получаем: \( x ≥ 2 \).

Ответ: \( [2, +∞) \)