11. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ AC ромба равна 6, а тангенс угла BCA равен 4/3.

Дано:

• Ромб ABCD
• Диагональ AC = 6
• \[ \text{tg}(\angle BCA) = \frac{4}{3} \]

Решение:

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O. Тогда\[ AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \]
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. Угол BOC = 90°.
3. Нам дан тангенс угла BCA:
   \[ \text{tg}(\angle BCA) = \frac{BO}{OC} = \frac{4}{3} \]
4. Мы знаем, что OC = 3. Подставим это значение:
   \[ \frac{BO}{3} = \frac{4}{3} \]
5. Отсюда находим длину BO:
   \[ BO = \frac{4}{3} \times 3 = 4 \]
6. Диагональ BD = 2 * BO = 2 * 4 = 8.
7. Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба. Высоту ромба можно найти, используя площадь ромба:
   \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \]
8. Также площадь ромба равна произведению стороны на высоту (h):
   \[ S_{ABCD} = a \times h \]
9. Сторону ромба (a) найдем из прямоугольного треугольника BOC по теореме Пифагора:
   \[ BC^2 = BO^2 + OC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \]
   \[ BC = a = \sqrt{25} = 5 \]
10. Теперь найдем высоту (h):
    \[ 24 = 5 \times h \]
    \[ h = \frac{24}{5} = 4.8 \]
11. Радиус вписанной окружности (r) равен половине высоты:
    \[ r = \frac{h}{2} = \frac{4.8}{2} = 2.4 \]

Ответ: 2.4