11. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ AC ромба равна 70, а тангенс угла BCA равен 24/7.

Решение:

1. Обозначения:

• Пусть O - точка пересечения диагоналей ромба.
• AC и BD - диагонали ромба.
• BC - сторона ромба.
• r - радиус вписанной окружности.

2. Свойства ромба:

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: AC ⊥ BD.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC = AC/2, BO = OD = BD/2.
• Диагонали делят углы ромба пополам.
• Вписанная окружность касается всех сторон ромба. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба.

3. Дано:

• AC = 70
• tg(∠BCA) = 24/7

4. Находим OC:

• \[ OC = \frac{AC}{2} = \frac{70}{2} = 35 \]

5. Находим BO:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC.
• \[ \text{tg}(\angle BCA) = \frac{BO}{OC} \]
• \[ \frac{24}{7} = \frac{BO}{35} \]
• \[ BO = \frac{24}{7} \times 35 = 24 \times 5 = 120 \]

6. Находим диагональ BD:

• \[ BD = 2 \times BO = 2 \times 120 = 240 \]

7. Находим сторону ромба BC:

• В прямоугольном треугольнике BOC по теореме Пифагора:
• \[ BC^2 = BO^2 + OC^2 \]
• \[ BC^2 = 120^2 + 35^2 = 14400 + 1225 = 15625 \]
• \[ BC = \sqrt{15625} = 125 \]

8. Находим радиус вписанной окружности (r):

• Площадь ромба можно найти двумя способами:
• \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} AC \times BD = \frac{1}{2} \times 70 \times 240 = 35 \times 240 = 8400 \]
• \[ S = a \times h \]
• Где a - сторона ромба, h - высота ромба.
• Высота ромба h равна диаметру вписанной окружности (2r).
• \[ S = BC \times h \]
• \[ 8400 = 125 \times h \]
• \[ h = \frac{8400}{125} = 67.2 \]
• \[ r = \frac{h}{2} = \frac{67.2}{2} = 33.6 \]

Ответ: 33,6