11. Найдите точку максимума функции y=log2 (2+2x-x2)-2.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = \log_2(2+2x-x^2) - 2 \) необходимо сначала найти максимум выражения под логарифмом, так как \( \log_2(u) \) является возрастающей функцией.

Рассмотрим функцию \( f(x) = 2+2x-x^2 \). Это парабола с ветвями, направленными вниз. Её максимум достигается в вершине.

Координата x вершины параболы находится по формуле \( x_v = -\frac{b}{2a} \).

В нашем случае \( a = -1 \) и \( b = 2 \).

\[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1 \]

Максимальное значение функции \( f(x) \) достигается при \( x = 1 \).

Найдем значение \( y \) при \( x = 1 \):

\[ y = \log_2(2 + 2 \cdot 1 - 1^2) - 2 = \log_2(2 + 2 - 1) - 2 = \log_2(3) - 2 \]

Точка максимума имеет координаты \( (1, \log_2(3) - 2) \).

Ответ: Точка максимума имеет координаты \( (1, \log_2(3) - 2) \).