11. Найдите значение выражения $$ \frac{p^2-q^2}{(p-q)^2} \cdot \frac{p^2+q^2}{(p+q)^2} $$ при $$p = \sqrt{6}$$ и $$q = 2\sqrt{2}$$.

Решение:

1. Упрощение выражения:
   Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $$p^2 - q^2 = (p-q)(p+q)$$.
   Знаменатель первой дроби $$(p-q)^2$$ остается без изменений.
   Числитель второй дроби $$p^2+q^2$$ остается без изменений.
   Знаменатель второй дроби $$(p+q)^2$$ остается без изменений.
   
   Таким образом, выражение принимает вид:
   \[ \frac{(p-q)(p+q)}{(p-q)^2} \cdot \frac{p^2+q^2}{(p+q)^2} \]
   
   Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
   \[ \frac{1}{(p-q)} \cdot \frac{p^2+q^2}{(p+q)} = \frac{p^2+q^2}{(p-q)(p+q)} \]
   
   Знаменатель $$(p-q)(p+q)$$ также является разностью квадратов: $$(p-q)(p+q) = p^2 - q^2$$.
   Итоговое упрощенное выражение:
   \[ \frac{p^2+q^2}{p^2-q^2} \]
2. Подстановка значений:
   Дано: $$p = \sqrt{6}$$ и $$q = 2\sqrt{2}$$.
   
   Вычислим $$p^2$$ и $$q^2$$:
   $$p^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$$
   $$q^2 = (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$$
   
   Теперь подставим значения $$p^2$$ и $$q^2$$ в упрощенное выражение:
   \[ \frac{6+8}{6-8} = \frac{14}{-2} = -7 \]

Ответ: -7