Ответ:

  1. Несмотря на все старания, он опоздал. «Несмотря на» — производный предлог со значением уступки, пишется слитно.
  2. Вследствие болезни он пропустил урок. «Вследствие» имеет значение «из-за», поэтому пишется слитно.
  3. В следствии были допущены ошибки. «Следствии» — существительное с предлогом, пишется раздельно.
  4. Вслед экипажам двинулись люди. «Вслед» — предлог со значением «за кем-либо», пишется слитно.