11. Не вычисляя значения выражения, сравни: a) \(\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2}\) ? 1; б) \(\frac{(4,17 - 3,94)}{(4,17^2 + 3,94^2)}\) ? 1; в) \(\frac{(1,46 + 7,16)^2}{2 \cdot 1,46 \cdot 7,16}\) ? 1; г) \(\frac{234 \cdot 176 + 1}{(117 + 176)}\) ? 1.

Решение:

1. а) Сравним \(\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2}\) с 1. \((276 + 143)^2 = 276^2 + 2 \cdot 276 \cdot 143 + 143^2\). \(276^2 + 143^2 < 276^2 + 2 \cdot 276 \cdot 143 + 143^2\). Следовательно, \(\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2} < 1\).
2. б) Сравним \(\frac{(4,17 - 3,94)}{(4,17^2 + 3,94^2)}\) с 1. Числитель \(4,17 - 3,94 = 0,23\). Знаменатель \(4,17^2 + 3,94^2 \) — это сумма положительных чисел, она будет значительно больше числителя. Следовательно, \(\frac{0,23}{4,17^2 + 3,94^2} < 1\).
3. в) Сравним \(\frac{(1,46 + 7,16)^2}{2 \cdot 1,46 \cdot 7,16}\) с 1. Обозначим \(a = 1,46\) и \(b = 7,16\). Выражение принимает вид \(\frac{(a+b)^2}{2ab}\). \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). \(\frac{a^2 + 2ab + b^2}{2ab} = \frac{a^2 + b^2}{2ab} + 1\). Так как \(a^2+b^2 > 0\) и \(2ab > 0\), то \(\frac{a^2 + b^2}{2ab} > 0\). Следовательно, \(\frac{(a+b)^2}{2ab} > 1\).
4. г) Сравним \(\frac{234 \cdot 176 + 1}{(117 + 176)}\) с 1. \(234 = 2 \cdot 117\). Выражение принимает вид \(\frac{2 \cdot 117 \cdot 176 + 1}{117 + 176}\). \(117 + 176 = 293\). \(2 \cdot 117 \cdot 176 = 234 × 176 = 41184\). \(\frac{41184 + 1}{293} = \frac{41185}{293} \approx 140.56\). \(140.56 > 1\).

Ответ: а) <; б) <; в) >; г) >